Dynamique de Dirac pour les problèmes mécaniques
Résumé
Dirac structures are the subbundles of the direct sum of the tangent and cotangent bundles to a smooth manifold, subject to some properties. Their framework permits to provide a unified description of symplectic and Poisson structures (among others), as well as a certain class of foliations. We will start by recalling several instances of Dirac structures appearing naturally for mechanical problems. Then we will adress the question of variational formulation of dynamics on Dirac structures. The obstructions to such a formulation can be characterized by a class in basic cohomology of Lie algebroids. And the formulation itself implies the possibility to construct geometric integrators, namely (variational) numerical methods that preserve physical properties of the system, encoded by the Dirac structure – we will briefly sketch the idea.
Les structures de Dirac sont les sous-fibrés de la somme directe de fibrés tangent et cotangent d'une variété, avec certaines propriétés. Leur cadre permet de donner une description unifiée entre autres de la géométrie symplectique et de Poisson, de certaines classes de feuilletages. On va commencer par un rappel des situations où les structures de Dirac apparaissent naturellement pour les problèmes mécaniques. Ensuite on va adresser la question de la formulation variationnelle de la dynamique sur les structures de Dirac. Les obstructions à cette formulation peuvent être caractérisées par une classe de cohomologie basique des algebroïdes de Lie. Une telle formulation variationelle implique la possibilité de construction des intégrateurs géométriques, notamment la construction des schémas numériques (variationnels) qui préservent les propriétés physiques du système "encodées" par la structure de Dirac-on va la survoler rapidement.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)